Signal Processing

Master theoretical foundations and practical methods for analyzing, designing, and implementing digital and analog signal processing systems in communication...

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Signal Processing — 信号处理

通信工程专业研究生级别知识体系。每个子领域按 理论 → 方法 → 工具 → 应用 组织。

1. 时域与频域分析

1.1 信号分类与基本运算

分类维度： 时间（连续/离散）、幅度（连续/量化）、周期性、确定性/随机、能量/功率。

基本信号： $\delta(t), u(t), e^{j\omega_0 t}, \text{rect}(t/T), \text{sinc}(t)$

能量与功率：

$$E = \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2 dt, \quad P = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2 dt$$

$$E_{dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2, \quad P_{dt} = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2$$

1.2 LTI 系统分析

理论： LTI 系统由冲激响应 $h(t)$ 完全描述，$y(t) = (x*h)(t) = \int x(\tau)h(t-\tau)d\tau$。

因果性：$h(t)=0, \forall t<0$。BIBO 稳定：$\int|h(t)|dt<\infty$。

频率响应：$H(j\omega) = \int h(t)e^{-j\omega t}dt = |H(j\omega)|e^{j\angle H(j\omega)}$

群延迟：$\tau_g(\omega) = -\frac{d}{d\omega}\angle H(j\omega)$

方法： 卷积计算、传递函数分析、零极点分析。

应用： 系统级联/并联组合分析、反馈系统稳定性（Nyquist 判据）。

1.3 傅里叶分析

CTFS（连续时间傅里叶级数）

周期 $T_0$，$\Omega_0 = 2\pi/T_0$：

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\Omega_0 t}, \quad a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0} x(t) e^{-jk\Omega_0 t} dt$$

Parseval：$\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2$

CTFT（连续时间傅里叶变换）

$$X(j\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\Omega t} dt, \quad x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(j\Omega) e^{j\Omega t} d\Omega$$

关键性质： 时移→相移 $e^{-j\Omega t_0}$；频移→调制 $e^{j\Omega_0 t}$；卷积定理 $XH$；时域微分→$\j\Omega X$；尺度变换→$\frac{1}{|a|}X(\Omega/a)$。

DTFS & DTFT

DTFT（非周期序列）：$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}$，以 $2\pi$ 为周期。

数字频率 $\omega$ 与模拟频率 $\Omega$ 的关系：$\omega = \Omega T_s = \Omega/f_s$。

DFT & FFT

$N$ 点 DFT：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$，$W_N = e^{-j2\pi/N}$

圆周卷积定理：$\text{DFT}{x \circledast_N y} = X[k] \cdot Y[k]$

线性卷积用 DFT：补零到 $N \geq L_1 + L_2 - 1$。

Cooley-Tukey 基-2 FFT：

$$X[k] = \underbrace{\sum_{m=0}^{N/2-1} x[2m] W_N^{2mk}}{\text{偶数项}} + W_N^k \underbrace{\sum{m=0}^{N/2-1} x[2m+1] W_N^{2mk}}_{\text{奇数项}}$$

复杂度：$O(N\log_2 N)$。

python

import numpy as np
X = np.fft.fft(x)                  # FFT
x_rec = np.fft.ifft(X)             # IFFT
# 长序列滤波：overlap-add
# 零填充提高频率插值分辨率（不增加真实分辨率）

1.4 时频分析

STFT

$$X(\tau, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) e^{-j\omega t} dt$$

Heisenberg 不确定性：$\Delta t \cdot \Delta \omega \geq 1/2$，短窗时间分辨率高，长窗频率分辨率高。

python

import scipy.signal as signal
f, t, Zxx = signal.stft(x, fs=fs, window='hann', nperseg=1024, noverlap=768)
x_rec = signal.istft(Zxx, fs=fs, window='hann', nperseg=1024, noverlap=768)[0]

小波变换 (WT)

CWT： $W_x(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int x(t)\psi^*((t-b)/a)dt$，$a$ 为尺度，$b$ 为平移。

DWT (Mallat 算法)： 多分辨率分析，交替通过 LPF $h[n]$ 和 HPF $g[n]$ 并下采样。

text

x[n] → h[n] → ↓2 → cA1 (近似)
     → g[n] → ↓2 → cD1 (细节)

常用母小波： Haar（最简单）、Daubechies dbN（紧支撑正交）、Morlet（连续分析）、Symlet（近对称）。

python

import pywt
coeffs = pywt.wavedec(x, 'db4', level=5)     # DWT 分解
# Donoho-Johnstone 阈值去噪
sigma = np.median(np.abs(coeffs[-1])) / 0.6745
thr = sigma * np.sqrt(2 * np.log(len(x)))
coeffs_d = [pywt.threshold(c, thr, mode='soft') for c in coeffs]
x_dn = pywt.waverec(coeffs_d, 'db4')
# CWT
cwtm, freqs = pywt.cwt(x, np.arange(1, 128), 'cmor1.5-1.0', sampling_period=1/fs)

1.5 z 变换与拉普拉斯变换

z 变换： $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$，$z=re^{j\omega}$

关键性质：时移 $z^{-n_0}X(z)$、z 域尺度 $X(z/a)$、卷积 $X(z)H(z)$。

因果 ⟺ ROC 为圆外且含 $\infty$。稳定 ⟺ ROC 含单位圆。

拉普拉斯变换： $X(s) = \int x(t)e^{-st}dt$，$s=\sigma+j\Omega$。通过 $z=e^{sT_s}$ 与 z 变换关联。

部分分式展开求逆变换：$X(z) = \sum_i \frac{A_i}{1-p_iz^{-1}} \Rightarrow x[n] = \sum_i A_i p_i^n u[n]$

1.6 采样定理与量化

Nyquist 采样定理： $f_s \geq 2f_{\max}$，理想重建 $x(t) = \sum x[nT_s]\text{sinc}((t-nT_s)/T_s)$。

混叠：$f_s < 2f_{\max}$ 时频谱折叠。抗混叠滤波器截止于 $f_s/2$。

过采样好处：降低抗混叠滤波器阶数、提高 SQNR。

量化噪声： 均匀量化步长 $\Delta = V_{pp}/2^B$，$P_q = \Delta^2/12$。

$$\text{SQNR} \approx 6.02B + 1.76 \text{ dB}$$

$\Sigma\Delta$ 调制噪声整形：$\text{SQNR}{\Sigma\Delta} \approx 6.02B + 1.76 + (2L+1)\cdot 10\log{10}(OSR)$ dB（$L$ 阶）。

1.7 随机信号分析

理论： 自相关 $r_{xx}[m] = E{x[n]x^*[n+m]}$，PSD（Wiener-Khinchin）：$S_{xx}(e^{j\omega}) = \mathcal{F}{r_{xx}[m]}$

互相关 $r_{xy}[m]$，互谱 $S_{xy}(e^{j\omega})$，相干函数 $\gamma^2_{xy} = |S_{xy}|^2/(S_{xx}S_{yy})$。

白噪声：$r_{ww}[m]=\sigma_w^2\delta[m]$，$S_{ww}=\sigma_w^2$。有色噪声：白噪声通过 $H(z)$，$S_{xx}=\sigma_w^2|H|^2$。

方法： 周期图法估计 PSD，Welch 法（分段平均加窗）。

python

# PSD 估计
f, Pxx = signal.welch(x, fs=fs, window='hann', nperseg=1024, noverlap=512)

1.8 维纳滤波与卡尔曼滤波

维纳滤波： Wiener-Hopf 方程 $\mathbf{R}\mathbf{w} = \mathbf{r}$，$\mathbf{w}_{opt} = \mathbf{R}^{-1}\mathbf{r}$。

频域最优滤波器：$H_{opt}(e^{j\omega}) = S_{dx}(e^{j\omega})/S_{xx}(e^{j\omega})$。

最小 MSE：$\xi_{min} = r_{dd}[0] - \mathbf{r}^H\mathbf{R}^{-1}\mathbf{r}$。

卡尔曼滤波： 状态空间模型

$$\mathbf{x}[n] = \mathbf{F}\mathbf{x}[n-1] + \mathbf{w}[n], \quad \mathbf{z}[n] = \mathbf{H}\mathbf{x}[n] + \mathbf{v}[n]$$

text

预测: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q
更新: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹
      x̂ = x̂⁻ + K (z - H x̂⁻)
      P = (I - K H) P⁻

扩展： EKF（Jacobian 线性化）、UKF（sigma 点，无需 Jacobian）。

应用： 目标跟踪、GPS 定位、通信信道跟踪、雷达信号处理。

2. 数字滤波器

2.1 FIR 滤波器设计

理论： $H(z) = \sum_{n=0}^{M} h[n]z^{-n}$。线性相位条件 $h[n] = \pm h[M-n]$，群延迟 $\tau = M/2$。

四种线性相位：I 型（偶对称奇数长）、II 型（偶对称偶数长）、III 型（奇对称奇数长）、IV 型（奇对称偶数长）。

窗函数法

$$h[n] = h_d[n] \cdot w[n], \quad h_d[n] = \frac{\sin(\omega_c(n-M/2))}{\pi(n-M/2)}$$

窗	主瓣宽	旁瓣	阻带衰减
Rectangular	$4\pi/N$	-13 dB	-21 dB
Hamming	$8\pi/N$	-41 dB	-53 dB
Blackman	$12\pi/N$	-57 dB	-74 dB
Kaiser ($\beta$)	可调	可调	可调

Parks-McClellan (Remez)

等波纹 Chebyshev 最优逼近：$\min_h \max_\omega |W(\omega)[H_d - H]|$。

其他方法

频率采样法（指定 $H_d[k]$，IDFT）、最小二乘法（$L_2$ 最优）。

python

import scipy.signal as signal

# 窗函数法
h = signal.firwin(101, 12000, window='hamming', fs=48000)

# Kaiser 窗
N, beta = signal.kaiserord(60, 1000/(48000/2))
h = signal.firwin(N, 12000, window=('kaiser', beta), fs=48000)

# Remez 算法
h = signal.remez(101, [0, 12000, 13000, 24000], [1, 0], fs=48000)

# 最小二乘
h = signal.firls(101, [0, 12000, 13000, 24000], [1, 1, 0, 0], fs=48000)

2.2 IIR 滤波器设计

理论： $H(z) = B(z)/A(z)$。低阶实现高选择度，但非线性和潜在不稳定。

模拟原型： Butterworth（最大平坦 $|H|^2 = 1/(1+(\Omega/\Omega_c)^{2N})$）、Chebyshev I（通带等波纹）、Chebyshev II（阻带等波纹）、Elliptic（通带+阻带等波纹，过渡带最窄）。

双线性变换

$$s = \frac{2}{T_s}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}, \quad \Omega = \frac{2}{T_s}\tan\frac{\omega}{2}$$

频率预畸变：$\omega_c \to \Omega_c = \frac{2}{T_s}\tan(\omega_c/2)$。无混叠但频率轴非线性。

脉冲响应不变法

$h[n] = T_s h_a(nT_s)$，保持时域形状但有频率混叠，仅适合低通/带通。

python

b, a = signal.butter(6, 8000, fs=48000)         # Butterworth
b, a = signal.cheby1(6, 0.5, 8000, fs=48000)     # Chebyshev I
b, a = signal.ellip(6, 0.5, 60, 8000, fs=48000)  # Elliptic
z, p, k = signal.tf2zpk(b, a)                    # 零极点分析

2.3 滤波器结构

FIR 结构： 直接型、线性相位（利用对称性减半乘法）、级联型（二阶节级联）、频率采样型。

IIR 结构：

直接 I 型： FIR + 反馈分开
直接 II 型（典范型）： 合并延迟线，最少存储 $N$ 个
级联型： $H(z) = k \prod_i (b_{0i}+b_{1i}z^{-1}+b_{2i}z^{-2})/(1+a_{1i}z^{-1}+a_{2i}z^{-2})$
并联型： 部分分式展开，各节并联

格型结构 (Lattice)： 反射系数 $k_m$ 参数化，数值稳定性好，广泛用于预测编码和自适应滤波。

$$f_m[n] = f_{m-1}[n] + k_m b_{m-1}[n-1], \quad b_m[n] = k_m f_{m-1}[n] + b_{m-1}[n-1]$$

2.4 多采样率处理

抽取 (Decimation)

降低采样率：$y[m] = x[mD]$，$D$ 为抽取因子。

需先低通滤波（截止 $f_s/(2D)$）防混叠。频谱展宽 $D$ 倍。

插值 (Interpolation)

提高采样率：$y[m] = \sum_k x[k] h_I[m - kI]$，$I$ 为插值因子。

先零值上采样再滤波（抗镜像滤波器）。

多相分解

$$H(z) = \sum_{l=0}^{D-1} z^{-l} E_l(z^D), \quad E_l(z) = \sum_n h[nD+l] z^{-n}$$

将滤波器分解为 $D$ 个子滤波器，计算量降低约 $1/D$。

滤波器组

分析滤波器组： $H_k(z)$，将信号分解为子带。 综合滤波器组： $G_k(z)$，重建信号。

正交镜像滤波器组 (QMF)： $H_1(z) = H_0(-z)$，设计条件 $|H_0(e^{j\omega})|^2 + |H_1(e^{j\omega})|^2 = 1$。

应用： 子带编码、音频压缩（MP3/AAC 的 MDCT）、图像压缩（JPEG2000 小波）、软件无线电。

2.5 自适应滤波

理论： 滤波器系数随输入信号统计特性自动调整。

LMS (Least Mean Squares)

$$\mathbf{w}[n+1] = \mathbf{w}[n] + \mu e[n] \mathbf{x}[n], \quad e[n] = d[n] - \mathbf{w}^T[n]\mathbf{x}[n]$$

收敛条件：$0 < \mu < 2/(\lambda_{max}) = 2/(\text{tr}(\mathbf{R}))$

失调 (misadjustment)：$\mathcal{M} = \mu \cdot \text{tr}(\mathbf{R})/2$

NLMS (Normalized LMS)

$$\mathbf{w}[n+1] = \mathbf{w}[n] + \frac{\mu}{\epsilon + |\mathbf{x}[n]|^2} e[n] \mathbf{x}[n]$$

自动归一化步长，收敛更稳健。

RLS (Recursive Least Squares)

$$\mathbf{k}[n] = \frac{\mathbf{P}[n-1]\mathbf{x}[n]}{\lambda + \mathbf{x}^T[n]\mathbf{P}[n-1]\mathbf{x}[n]}$$ $$\mathbf{w}[n] = \mathbf{w}[n-1] + \mathbf{k}[n] e[n]$$ $$\mathbf{P}[n] = \frac{1}{\lambda}(\mathbf{P}[n-1] - \mathbf{k}[n]\mathbf{x}^T[n]\mathbf{P}[n-1])$$

复杂度 $O(N^2)$（vs LMS $O(N)$），但收敛快一个数量级。遗忘因子 $\lambda \approx 0.99$。

AP (Affine Projection)

LMS 和 RLS 的折中：使用最近 $P$ 个输入向量构成投影矩阵，复杂度 $O(NP)$。

python

def lms_filter(x, d, M, mu=0.01):
    """LMS 自适应滤波"""
    N = len(x)
    w = np.zeros(M)
    y = np.zeros(N)
    e = np.zeros(N)
    for n in range(M, N):
        x_vec = x[n-M:n][::-1]
        y[n] = w @ x_vec
        e[n] = d[n] - y[n]
        w += mu * e[n] * x_vec
    return y, e, w

def nlms_filter(x, d, M, mu=0.5, eps=1e-8):
    """NLMS 自适应滤波"""
    N = len(x)
    w = np.zeros(M)
    y = np.zeros(N)
    for n in range(M, N):
        x_vec = x[n-M:n][::-1]
        y[n] = w @ x_vec
        e = d[n] - y[n]
        w += (mu / (eps + np.dot(x_vec, x_vec))) * e * x_vec
    return y, w

应用： 回声消除、主动降噪 (ANC)、信道均衡、干扰对消、系统辨识。

3. 估计与检测

3.1 参数估计

理论： 从含噪观测 $y[n] = s[n;\boldsymbol{\theta}] + w[n]$ 估计参数 $\boldsymbol{\theta}$。

最大似然估计 (MLE)

$$\hat{\boldsymbol{\theta}}{ML} = \arg\max{\boldsymbol{\theta}} p(\mathbf{y}|\boldsymbol{\theta})$$

性质： 一致性、渐近无偏、渐近有效（达到 CRLB）、渐近正态。

最大后验估计 (MAP)

$$\hat{\boldsymbol{\theta}}{MAP} = \arg\max{\boldsymbol{\theta}} p(\boldsymbol{\theta}|\mathbf{y}) = \arg\max_{\boldsymbol{\theta}} [p(\mathbf{y}|\boldsymbol{\theta}) \cdot p(\boldsymbol{\theta})]$$

当先验 $p(\boldsymbol{\theta})$ 为均匀分布时退化为 MLE。

矩估计

令样本矩等于理论矩，求解参数。简单但不一定有效。

Cramér-Rao 下界 (CRLB)

$$\text{Var}(\hat{\theta}) \geq \frac{1}{I(\theta)} = \left(-E\left[\frac{\partial^2 \ln p(\mathbf{y}|\theta)}{\partial\theta^2}\right]\right)^{-1}$$

达到 CRLB 的估计量为有效估计量。

Fisher 信息矩阵（多参数）：$\mathbf{I}(\boldsymbol{\theta})_{ij} = -E[\partial^2\ln p/\partial\theta_i\partial\theta_j]$。

3.2 谱估计

非参数法

周期图 (Periodogram)： $\hat{S}{xx}(e^{j\omega}) = \frac{1}{N}|\sum{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j\omega n}|^2$

渐近无偏但方差大（不一致估计）。

Bartlett 法： 分 $K$ 段不重叠，每段 $M = N/K$ 点，取平均。方差降 $1/K$，频率分辨率降。

Welch 法： 加窗 + 重叠分段（通常 50%），更实用。

Blackman-Tukey 法： 估计自相关后加窗做 FFT。

参数法

假设信号由白噪声驱动的线性系统产生（AR/MA/ARMA 模型），通过模型参数求 PSD。

$$S_{xx}(e^{j\omega}) = \sigma_w^2 \frac{|B(e^{j\omega})|^2}{|A(e^{j\omega})|^2}$$

AR 模型谱估计（Yule-Walker）：

$$\hat{r}{xx}[m] = -\sum{k=1}^{p} a_k \hat{r}_{xx}[m-k], \quad m=1,\ldots,p$$

Levinson-Durbin 算法 $O(p^2)$ 求解 Toeplitz 方程组。

python

# 参数法谱估计
# AR 模型
ar_coeffs, sigma2 = signal.arburg(x, order=20)  # Burg 算法
f, Pxx = signal.arma2psd(ar_coeffs, sigma2, fs=fs)

# 非参数法
f, Pxx = signal.welch(x, fs=fs, nperseg=1024, noverlap=512)
f, Pxx = signal.periodogram(x, fs=fs)

子空间法

MUSIC (Multiple Signal Classification)： 对自相关矩阵做特征分解，信号子空间 vs 噪声子空间。

$$P_{MUSIC}(\omega) = \frac{1}{\mathbf{a}^H(\omega)\mathbf{E}_N\mathbf{E}_N^H\mathbf{a}(\omega)}$$

$\mathbf{E}_N$ 为噪声特征向量矩阵，$\mathbf{a}(\omega)$ 为导向向量。峰值对应信号频率。

ESPRIT (Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance)：

利用信号子空间的旋转不变性估计频率，无需谱峰搜索，计算效率高于 MUSIC。

python

# MUSIC 算法伪代码
R = x @ x.conj().T / N              # 自相关矩阵
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(R) # 特征分解
# 按特征值排序，选小特征值对应向量为噪声子空间
idx = np.argsort(eigvals)
En = eigvecs[:, idx[:N-M]]           # 噪声子空间
# 扫描 MUSIC 谱
for w in freqs:
    a = np.exp(-1j * w * np.arange(N))  # 导向向量
    P[w] = 1 / (a.conj() @ En @ En.conj().T @ a)

3.3 信号检测理论

假设检验

$H_0$: 仅有噪声，$H_1$: 信号+噪声。

检测概率 vs 虚警概率： $P_D = P(\text{判 } H_1 | H_1)$，$P_{FA} = P(\text{判 } H_1 | H_0)$。

Neyman-Pearson (NP) 准则

在约束 $P_{FA} \leq \alpha$ 下最大化 $P_D$。

似然比检验 (LRT)：

$$L(\mathbf{y}) = \frac{p(\mathbf{y}|H_1)}{p(\mathbf{y}|H_0)} \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} \gamma$$

对数似然比 (LLRT)：$\ln L(\mathbf{y}) \gtrless \ln\gamma$。

高斯白噪声下，LLRT 简化为能量检测：$\sum|y[n]|^2 \gtrless \gamma$。

匹配滤波器

理论： AWGN 下使输出 SNR 最大的线性滤波器。

$$h_{opt}(t) = s^*(T-t)$$

即在 $t=T$ 时刻与已知信号 $s(t)$ 匹配（时间反转共轭）。

最大输出 SNR： $\text{SNR}_{max} = 2E/N_0$，$E = \int|s(t)|^2dt$。

频域： $H_{opt}(f) = S^*(f)e^{-j2\pi fT}$，即频域幅度匹配 + 线性相位补偿。

离散形式： $h[n] = s^*[M-n]$，实现为 FIR 滤波器或相关器。

python

# 匹配滤波器
s = np.array([...])          # 已知信号模板
h = s[::-1].conj()           # 匹配滤波器冲激响应
y = np.convolve(x_noisy, h)  # 输出
peak_idx = np.argmax(np.abs(y))
# SNR = 2 * np.sum(np.abs(s)**2) / noise_var

ROC 曲线

接收机操作特性曲线：$P_D$ vs $P_{FA}$，不同门限 $\gamma$ 的轨迹。AUC (Area Under Curve) 衡量检测器整体性能。

3.4 时间序列分析

AR 模型 (自回归)

$$x[n] = \sum_{k=1}^p a_k x[n-k] + w[n]$$

传递函数：$H(z) = 1/A(z) = 1/(1+\sum a_k z^{-k})$

PSD：$S_{xx}(e^{j\omega}) = \sigma_w^2 / |A(e^{j\omega})|^2$

MA 模型 (滑动平均)

$$x[n] = \sum_{k=0}^q b_k w[n-k]$$

传递函数：$H(z) = B(z)$，PSD：$S_{xx} = \sigma_w^2 |B|^2$

ARMA 模型

$$x[n] = \sum_{k=1}^p a_k x[n-k] + \sum_{k=0}^q b_k w[n-k]$$

模型定阶： AIC $= 2K - 2\ln\hat{L}$，BIC $= K\ln N - 2\ln\hat{L}$（BIC 对过拟合惩罚更强）。

应用： 语音编码 (LPC)、预测编码、谱估计、金融时间序列、传感器数据建模。

4. 多载波与扩频

4.1 OFDM

理论： 将高速数据流分成 $N$ 个低速子流，在正交子载波上并行传输。

$$x(t) = \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi f_k t}, \quad f_k = f_0 + \frac{k}{T}$$

正交性：$\int_0^T e^{j2\pi f_k t}e^{-j2\pi f_l t}dt = T\delta[k-l]$

FFT 实现： OFDM 调制 = IFFT，解调 = FFT。效率极高。

循环前缀 (CP)

在 IFFT 输出前插入 $N_{cp}$ 个样本（复制尾部），消除 ISI 和 ICI。

CP 长度要求：$T_{cp} \geq \tau_{max}$（最大多径时延）。

效率损失： $\eta = N/(N+N_{cp})$，典型 $N=1024, N_{cp}=64 \Rightarrow \eta \approx 94%$。

OFDM 系统设计

text

比特流 → 信道编码 → 交织 → QAM 映射 → IFFT → 加 CP → DAC → 上变频 → 天线
                                                                              ↓
接收端 ← 均衡 ← QAM 解映射 ← 解交织 ← 信道解码 ← FFT ← 去 CP ← ADC ← 下变频 ← 天线

OFDM 同步

载波频率同步： 利用 CP 相关性、导频子载波。

符号定时同步： Schmidl-Cox 算法、Minn 算法、Park 算法。

python

# Schmidl-Cox 粗同步
# 训练符号结构: [A, A] (前后两半相同)
def schmidl_cox_sync(y, N):
    N_half = N // 2
    P = np.zeros(len(y) - N)
    R = np.zeros(len(y) - N)
    for m in range(len(y) - N):
        P[m] = np.sum(y[m:m+N_half] * y[m+N_half:m+N].conj())
        R[m] = np.sum(np.abs(y[m:m+N_half])**2)
    M = np.abs(P) / R
    peak = np.argmax(M)
    return peak  # 符号起始位置

信道估计

导频辅助： 在特定子载波插入已知导频（块状/梳状导频）。

LS 估计： $\hat{H}[k] = Y[k]/X[k]$（简单但对噪声敏感）。

MMSE 估计： $\hat{H}{MMSE} = \mathbf{R}{HH}(\mathbf{R}{HH} + \sigma_w^2\mathbf{I})^{-1}\hat{H}{LS}$

应用： Wi-Fi (802.11a/g/n/ax)、LTE/LTE-Advanced (下行)、DVB-T、5G NR。

4.2 扩频通信

DS-SS (直接序列扩频)

$$x_{ss}(t) = s(t) \cdot c(t)$$

$s(t)$ 为数据信号（比特周期 $T_b$），$c(t)$ 为 PN 码（码片周期 $T_c$），处理增益 $G_p = T_b/T_c = B_{ss}/B$。

抗窄带干扰： 干扰功率被扩展 $G_p$ 倍，SNR 改善 $G_p$。

Rake 接收机： 利用多径分集，对多个时延路径的相关输出加权合并。

python

# PN 码生成 (m-sequence)
def m_sequence(taps, length):
    """生成 m 序列, taps 为反馈抽头 (如 [5,3])"""
    L = taps[0]
    reg = np.ones(L, dtype=int)
    seq = np.zeros(2**L - 1, dtype=int)
    for i in range(len(seq)):
        seq[i] = reg[-1]
        fb = np.sum(reg[taps - 1]) % 2
        reg = np.roll(reg, 1)
        reg[0] = fb
    return seq

FH-SS (跳频扩频)

载波频率在 PN 码控制下跳变。快跳频（每符号多次跳变）/慢跳频（多符号一次跳变）。

应用： 蓝牙、军事通信、抗干扰。

CDMA

每个用户分配独特码字，同时同频传输。

Walsh-Hadamard 码（正交码）： $H_{2n} = \begin{pmatrix} H_n & H_n \ H_n & -H_n \end{pmatrix}$

Gold 码： 两个 m 序列的优选对异或，具有良好的互相关特性。

远近效应 (Near-Far Problem)： 需要精确功率控制。

4.3 DFT-s-OFDM / SC-FDMA

理论： 发射端先 DFT（预编码），再映射到子载波，再做 IFFT。本质上等价于单载波传输。

$$x[n] = \text{IDFT}{\text{DFT}{s[n]} \cdot \text{子载波映射}}$$

优点： PAPR（峰均比）比 OFDM 低约 2-4 dB，适合上行链路（终端功率受限）。

应用： LTE 上行 (SC-FDMA)、5G NR 上行 (DFT-s-OFDM)。

5. 空时信号处理

5.1 阵列信号处理

均匀线

5. 空时信号处理

5.1 阵列信号处理

均匀线阵 (ULA)

$M$ 个阵元，间距 $d$，入射角 $\theta$，导向向量：

$$\mathbf{a}(\theta) = [1, e^{-j2\pi d\sin\theta/\lambda}, \ldots, e^{-j2\pi(M-1)d\sin\theta/\lambda}]^T$$

阵列输出：$\mathbf{y}[n] = \mathbf{A}(\boldsymbol{\theta})\mathbf{s}[n] + \mathbf{w}[n]$

波束成形 (Beamforming)

延时求和波束成形： $\mathbf{w}^H\mathbf{y}$，$\mathbf{w} = \mathbf{a}(\theta_0)/M$

MVDR (Capon) 波束成形： 在期望方向无失真，最小化输出功率。

$$\mathbf{w}_{MVDR} = \frac{\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_0)}{\mathbf{a}^H(\theta_0)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_0)}$$

LCMV (线性约束最小方差)： 多约束条件，$\min \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}$，s.t. $\mathbf{C}^H\mathbf{w} = \mathbf{f}$。

$$\mathbf{w}_{LCMV} = \mathbf{R}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{C}^H\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{f}$$

MUSIC 算法

对空间自相关矩阵 $\mathbf{R} = E[\mathbf{y}\mathbf{y}^H]$ 特征分解，噪声子空间 $\mathbf{E}_N$。

$$P_{MUSIC}(\theta) = \frac{1}{\mathbf{a}^H(\theta)\mathbf{E}_N\mathbf{E}_N^H\mathbf{a}(\theta)}$$

谱峰对应 DOA 估计。分辨率优于 FFT 方法，但需要信号源数已知。

ESPRIT 算法

利用旋转不变性：两个平移子阵 $\mathbf{J}_1, \mathbf{J}_2$。

$$\mathbf{J}_1\mathbf{E}_S\boldsymbol{\Phi} = \mathbf{J}_2\mathbf{E}_S$$

对 $\mathbf{J}_2\mathbf{E}_S(\mathbf{J}_1\mathbf{E}_S)^+$ 做 SVD，对角元素 $\phi_k = e^{j2\pi d\sin\theta_k/\lambda}$。

优点： 无需谱峰搜索，自动配对，计算量小于 MUSIC。

python

def esprit_doa(R, M, d, wavelength):
    """ESPRIT DOA 估计"""
    # 信号子空间
    eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(R)
    Es = eigvecs[:, -M:]  # 取 M 个大特征值对应向量
    # 旋转算子
    J1 = Es[:-1, :]  # 前M-1阵元
    J2 = Es[1:, :]   # 后M-1阵元
    Phi = np.linalg.lstsq(J1, J2, rcond=None)[0]
    angles = -np.angle(np.diag(Phi)) * wavelength / (2 * np.pi * d)
    return np.degrees(np.arcsin(angles))

5.2 MIMO 信号处理

理论： $N_t$ 发射天线，$N_r$ 接收天线，信道矩阵 $\mathbf{H} \in \mathbb{C}^{N_r \times N_t}$。

$$\mathbf{y} = \mathbf{H}\mathbf{x} + \mathbf{n}$$

信道容量：

$$C = \log_2\det\left(\mathbf{I}_{N_r} + \frac{\text{SNR}}{N_t}\mathbf{H}\mathbf{H}^H\right) \text{ bps/Hz}$$

当 $N_t = N_r = N$，富散射环境下容量近似线性增长：$C \approx N\log_2(1+\text{SNR})$。

SVD 分解： $\mathbf{H} = \mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{V}^H$，预编码 $\mathbf{V}$ + 接收成形 $\mathbf{U}^H$，将 MIMO 信道分解为 $r$ 个并行 SISO 信道（$r = \text{rank}(\mathbf{H})$）。

预编码方案：

ZF 预编码： $\mathbf{W} = \mathbf{H}^H(\mathbf{H}\mathbf{H}^H)^{-1}$，消除干扰但放大噪声
MMSE 预编码： $\mathbf{W} = \mathbf{H}^H(\mathbf{H}\mathbf{H}^H + \alpha\mathbf{I})^{-1}$，SNR 与干扰的折中

5.3 空时编码

STBC (Alamouti)

2 发 1 收，传输矩阵：

$$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} s_1 & -s_2^* \ s_2 & s_1^* \end{pmatrix}$$

接收端线性解码，获得满分集增益 $N_t N_r$，速率 $R=1$（2Tx）。

SFBC (空频分组码)

在 OFDM 子载波维度上编码，结合频率分集。结构类似 STBC 但跨子载波。

空间复用 (V-BLAST)

独立数据流从不同天线发射，接收端通过 ZF/MMSE/SIC（串行干扰消除）检测。

$$\mathbf{y} = \mathbf{H}\mathbf{x} + \mathbf{n} \Rightarrow \hat{\mathbf{x}} = (\mathbf{H}^H\mathbf{H})^{-1}\mathbf{H}^H\mathbf{y} \text{ (ZF)}$$

应用： 802.11n/ac/ax (Wi-Fi)、LTE/5G NR (MIMO)、Massive MIMO (5G)。

6. 通信中的信号处理

6.1 同步

载波同步

理论： 载波频率偏移 (CFO) $\Delta f$ 导致相位旋转 $e^{j2\pi\Delta f \cdot nT_s}$。

方法：

PLL (锁相环)： 鉴相器 → 环路滤波器 → VCO，经典模拟/数字实现
Costas 环： 适用于 BPSK/QPSK 载波恢复
ML 估计： $\hat{\Delta f} = \arg\max_\phi \sum_n |y[n]e^{-j\phi n}|^2$
OFDM CFO 估计： 利用 CP：$\hat{\epsilon} = \frac{1}{2\pi}\angle\left(\sum_{n=0}^{N_{cp}-1} y[n]^* y[n+N]\right)$

符号同步

早迟门 (Early-Late Gate)： 比较超前和滞后采样点的相关值。

Gardner 算法： $e[n] = \text{Re}{(y[2k] - y[2k-2])y^*[2k-1]}$，每个符号 2 个采样即可。

Mueller-Müller 算法： 1 个采样/符号，基于判决反馈。

帧同步

相关检测： 用已知前导码/同步字做匹配滤波。

$$\Lambda = \sum_{n} y[n] p^*[n] \gtrless \gamma$$

Barker 码： 13 位 Barker 码自相关旁瓣 $\leq 1$。

6.2 信道估计与均衡

信道模型

线性时变信道： $y[n] = \sum_l h_l[n] x[n-l] + w[n]$

频率选择性衰落： 时延扩展 $\sigma_\tau > T_s$，信道有频率选择性。

平坦衰落： $\sigma_\tau \ll T_s$，信道只引起幅度和相位变化。

衰落模型： Rayleigh（无 LOS）、Rician（有 LOS）、Nakagami-$m$。

信道估计

训练序列法： LS $\hat{H} = Y/X$，MMSE $\hat{H}{MMSE} = \mathbf{R}{HH}(\mathbf{R}{HH}+\sigma^2\mathbf{I})^{-1}\hat{H}{LS}$

导频辅助： 梳状导频 + 插值（线性/样条/维纳）。

盲估计： 利用信号的统计特性（二阶/高阶统计量、子空间方法）。

均衡器

ZF 均衡器： $\mathbf{w}_{ZF} = \mathbf{H}^H(\mathbf{H}\mathbf{H}^H)^{-1}$，完全消除 ISI 但放大噪声。

$$\text{SNR}{ZF,k} = \frac{\text{SNR}}{N_t} \cdot \frac{1}{[\mathbf{H}^H\mathbf{H}]^{-1}{kk}}$$

MMSE 均衡器： $\mathbf{w}_{MMSE} = (\mathbf{H}^H\mathbf{H} + \sigma_w^2\mathbf{I})^{-1}\mathbf{H}^H$

DFE (判决反馈均衡器)： 前馈滤波器消除前导 ISI + 反馈滤波器消除后尾 ISI（基于已判决符号）。

MLSE (最大似然序列估计)： Viterbi 算法，在状态图中搜索最小距离路径，最优但复杂度 $O(S^L)$（$S$ 为星座点数，$L$ 为信道记忆长度）。

python

# ZF/MMSE 均衡器
H = np.array([...])  # 信道矩阵
sigma2 = 0.01         # 噪声方差

# ZF
w_zf = np.linalg.pinv(H)

# MMSE
w_mmse = np.linalg.inv(H.conj().T @ H + sigma2 * np.eye(H.shape[1])) @ H.conj().T

6.3 信道编码与交织

线性分组码

$(n, k)$ 码：$n$ 位码字，$k$ 位信息。$\mathbf{c} = \mathbf{m}\mathbf{G}$，校验 $\mathbf{H}\mathbf{c}^T = \mathbf{0}$。

Hamming 码： $(2^r-1, 2^r-1-r)$，最小距离 3，可纠 1 位错误。

LDPC 码： 稀疏校验矩阵，BP (Belief Propagation) 译码，接近容量。

$$P(\mathbf{c}|\mathbf{y}) \propto \prod_i P(c_i|y_i) \prod_j \delta(\mathbf{H}\mathbf{c}^T = \mathbf{0})$$

Polar 码： 信道极化，信息位在可靠子信道上。5G NR 控制信道。

卷积码

编码：$\mathbf{c}[n] = \sum_k \mathbf{g}_k \mathbf{m}[n-k]$

Viterbi 译码： 最大似然序列检测，复杂度 $O(2^K)$（$K$ 为约束长度）。

Turbo 码： 并行级联卷积码 + 迭代译码（SISO 译码器交换外信息）。3G/4G 标准。

交织

将突发错误随机化为随机错误，提高纠错能力。

块交织： 按行写入按列读出。卷积交织： 延迟线实现，无固定交织深度。

6.4 调制解调

线性调制

PSK (相移键控)： $s_i = \sqrt{E_s} e^{j\phi_i}$

BPSK：2 相，$\phi \in {0, \pi}$，1 bps/Hz
QPSK：4 相，$\phi \in {\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4}$，2 bps/Hz
8PSK：8 相，3 bps/Hz

QAM (正交幅度调制)： 幅度和相位同时调制。

16-QAM：4×4 星座，4 bps/Hz
64-QAM：8×8 星座，6 bps/Hz
256-QAM：16×16 星座，8 bps/Hz

星座图最小距离： $d_{min} = \sqrt{\frac{3E_s}{M-1}}$（方形 QAM）

误码率 (AWGN, 相干检测)：

$$P_e \approx 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\log_2 M}{M-1}\frac{E_b}{N_0}}\right)$$

python

# QAM 调制/解调
def qam_mod(bits, M=16):
    k = int(np.log2(M))
    symbols = np.arange(-np.sqrt(M)+1, np.sqrt(M), 2)
    constellation = np.array([(x + 1j*y) for x in symbols for y in symbols])
    # Gray 映射
    bits_reshaped = bits.reshape(-1, k)
    indices = np.array([int(''.join(map(str, b)), 2) for b in bits_reshaped])
    return constellation[indices] / np.sqrt(np.mean(np.abs(constellation)**2))

def qam_demod(symbols, M=16):
    # 最近邻判决
    k = int(np.log2(M))
    symbols_up = symbols * np.sqrt(M-1)/np.sqrt(2)
    real_part = np.clip(np.round((symbols_up.real + 1) / 2 - 1), 
                        -np.sqrt(M)/2+1, np.sqrt(M)/2-1).astype(int)
    imag_part = np.clip(np.round((symbols_up.imag + 1) / 2 - 1),
                        -np.sqrt(M)/2+1, np.sqrt(M)/2-1).astype(int)
    # 映射回比特...

恒包络调制

GMSK (高斯最小频移键控)：

MSK 调制前通过高斯低通滤波器（$BT = 0.3$ 典型值），相位连续变化。

$$\phi(t) = \pi \sum_n a_n \int_{-\infty}^{t-nT} g(\tau) d\tau, \quad g(t) = \frac{1}{2T}\text{rect}\left(\frac{t}{T}\right) * h_{gauss}(t)$$

应用： GSM、AIS（船舶自动识别）、卫星通信。

OFDM 调制解调

见 4.1 节。发射端 IFFT + CP，接收端去 CP + FFT。

应用： Wi-Fi (OFDM)、LTE (下行 OFDM/上行 SC-FDMA)、5G NR (CP-OFDM/DFT-s-OFDM)。

7. 实际工程实现

7.1 Python/NumPy/SciPy 工具链

核心工具：

python

import numpy as np                # 数值计算
import scipy.signal as signal     # 信号处理
import scipy.fft as fft           # FFT
import matplotlib.pyplot as plt   # 可视化

# 常用操作
signal.convolve(x, h, mode='full')       # 线性卷积
signal.fftconvolve(x, h)                 # FFT 加速卷积（长序列）
signal.resample(x, new_fs, fs)           # 重采样
signal.resample_poly(x, up, down)        # 有理数倍重采样
signal.decimate(x, q, ftype='fir')       # 抽取（含抗混叠滤波）
signal.upfirdn(h, x, up, down)           # 多采样率处理（多相分解）

# 滤波器设计
signal.butter / cheby1 / cheby2 / ellip  # IIR 设计
signal.firwin / firls / remez            # FIR 设计
signal.iirnotch / iirpeak                # 陷波/峰值滤波器

# 频谱分析
signal.welch / periodogram / csd         # PSD 估计
signal.stft / istft                      # 短时傅里叶变换
signal.spectrogram                       # 频谱图
signal.hilbert                           # 解析信号/Hilbert 变换

# 滤波
signal.lfilter(b, a, x)                  # IIR 滤波（直接 II 型）
signal.filtfilt(b, a, x)                 # 零相位滤波（前向+后向）
signal.sosfilt(sos, x)                   # 二阶节滤波（数值稳定）
signal.lfilter_zi(b, a)                  # 初始条件

# 窗函数
signal.windows.hann / hamming / blackman / kaiser / dpss

MATLAB 对照： scipy.signal 大部分函数与 MATLAB signal processing toolbox 命名一致。

7.2 嵌入式 DSP 实现

定点数运算

Q 格式： Qm.n 表示 $m$ 位整数，$n$ 位小数，总 $m+n+1$ 位（含符号位）。

Q15 范围：$[-32768, 32767]$，表示 $[-1, 1-2^{-15}]$。

乘法溢出处理： Q15×Q15 → Q30，右移 15 位得 Q15，需舍入处理。

// Q15 乘法 (ARM CMSIS-DSP 风格)
int16_t q15_mul(int16_t a, int16_t b) {
    int32_t prod = (int32_t)a * b;
    // 舍入
    prod += 1 << 14;
    return (int16_t)(prod >> 15);
}

数值范围与精度权衡： Q 格式 vs 浮点 vs 块浮点。

查表法 (LUT)

正弦/余弦查表： 存储 $1/4$ 周期，利用对称性。

// 正弦查表 (256 点, Q15)
const int16_t sin_table[64] = { 0, 804, 1608, ... };
int16_t sin_lut(uint16_t phase) {
    uint16_t index = phase & 0x3FFF;  // 14-bit, 0~16383
    uint16_t quadrant = (phase >> 14) & 0x3;
    uint16_t lut_idx = index >> 8;    // 6-bit lookup
    int16_t val = sin_table[lut_idx];
    if (quadrant == 1) val = sin_table[63 - lut_idx];
    else if (quadrant == 2) val = -val;
    else if (quadrant == 3) val = -sin_table[63 - lut_idx];
    return val;
}

CORDIC 算法： 仅用移位和加法计算三角函数/幅度/相位，无需乘法器。

循环缓冲 (Circular Buffer)

FIR 滤波器高效实现：

#define TAP 64
int16_t buffer[TAP];
int head = 0;

int16_t fir_circular(int16_t x_new) {
    buffer[head] = x_new;
    int32_t acc = 0;
    for (int i = 0; i < TAP; i++) {
        acc += (int32_t)coeffs[i] * buffer[(head - i + TAP) % TAP];
    }
    head = (head + 1) % TAP;
    return (int16_t)(acc >> 15);  // Q15 舍入
}

DSP 处理器架构

常用平台：

平台	特点	典型应用
TI C6000	VLIW, 高性能	基站、雷达
TI C5000	低功耗	便携音频
ARM Cortex-M4/M7	DSP 指令集, SIMD	IoT, 可穿戴
FPGA (Xilinx/Intel)	并行, 可定制	SDR, 雷达, 高速
ADSP-21xx	经典定点 DSP	音频/电机控制

关键指令： MAC (乘累加)、SIMD (单指令多数据)、饱和运算、环形寻址。

7.3 实时性约束与优化

计算复杂度

FIR 滤波： 每输出样本 $M$ 次 MAC → 每秒 $M \cdot f_s$ 次 MAC。

FFT： $N\log_2 N$ 次复数乘法。1024 点 FFT ≈ 10K MAC。

实时约束： 处理时间 $< T_s = 1/f_s$。例如 $f_s = 48$ kHz → 预算 20.8 μs/样本。

优化策略

算法级： 多相分解降低多采样率计算量、快速卷积（FFT）替代线性卷积、对称 FIR 减半乘法
实现级： SIMD 向量化、循环展开、DMA 减少数据搬运、内存对齐
定点优化： Q 格式选择避免溢出、块浮点、饱和运算

FFT 长度选择： 选择 2 的幂或小素因子组合以利用高效 FFT 算法。

SIMD 优化示例 (ARM NEON)：

// 4 个 Q15 样本同时处理
int16x4_t x_vec = vld1_s16(&x[n]);    // 加载 4 个样本
int16x4_t h_vec = vld1_s16(&h[k]);    // 加载 4 个系数
int32x4_t prod = vmull_s16(x_vec, h_vec); // 4 次并行乘法
acc = vpadalq_s16(acc, vreinterpretq_s16_s32(prod)); // 累加

SDR (软件定义无线电) 框架

GNU Radio： 开源信号处理框架，模块化流程图。

关键模块： Signal Source → Filter → Modulator → UHD Sink (USRP)

python

# GNU Radio 流程图（概念）
import gnuradio.gr as gr
import gnuradio.filter as filter
import gnuradio.analog as analog
import gnuradio.uhd as uhd

# OFDM 接收链
tb = gr.top_block()
src = uhd.usrp_source(device_addr="addr=192.168.10.2", ...)
src.set_samp_rate(20e6)
src.set_center_freq(2.4e9)
src.set_gain(30)
# → FFT → CP 去除 → 信道估计 → QAM 解映射 → 解码 → Sink

嵌入式 SDR： AD9361 (Analog Devices) + FPGA，支持 1×1 到 4×4 MIMO，带宽 2.56 MHz - 56 MHz。

附录

A. 常用数学公式速查

公式	表达式
Parseval (DTFT)	$\sum
Parseval (DFT)	$\sum_{n=0}^{N-1}\|x[n]\|^2 = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\|X[k]\|^2$
Wiener-Khinchin	$S_{xx}(e^{j\omega}) = \mathcal{F}{r_{xx}[m]}$
CRLB	$\text{Var}(\hat{\theta}) \geq 1/I(\theta)$
匹配滤波器 SNR	$\text{SNR}_{max} = 2E/N_0$
Shannon 容量	$C = B\log_2(1+\text{SNR})$ bps
SQNR	$\approx 6.02B + 1.76$ dB

B. 典型应用场景

场景	核心技术
音频处理	FFT/STFT、FIR/IIR 滤波、自适应降噪
5G NR	OFDM、MIMO、LDPC/Polar、波束成形
Wi-Fi 6/7	OFDMA、MU-MIMO、1024/4096-QAM
雷达	匹配滤波、CFAR、MTI、MUSIC/ESPRIT
声纳	波束成形、匹配滤波、多普勒处理
医学信号 (ECG/EEG)	小波去噪、自适应滤波、谱分析
图像处理	DCT、小波变换、滤波器组
金融	ARIMA/GARCH 时间序列、谱分析
语音编码	LPC (AR 建模)、CELP、CELP 编码

C. 学习路径建议

基础： 信号与系统 → 数字信号处理 (Oppenheim) → 概率论与随机过程
进阶： 统计信号处理 (Kay) → 自适应滤波 (Haykin) → 通信原理 (Proakis)
专题： 阵列信号处理 → MIMO 通信 → 信息论与编码
实践： MATLAB/Python 仿真 → SDR 实现 → 嵌入式 DSP 部署

Signal Processing

Install

Signal Processing — 信号处理

目录

1. 时域与频域分析

1.1 信号分类与基本运算

1.2 LTI 系统分析

1.3 傅里叶分析

CTFS（连续时间傅里叶级数）

CTFT（连续时间傅里叶变换）

DTFS & DTFT

DFT & FFT

1.4 时频分析

STFT

小波变换 (WT)

1.5 z 变换与拉普拉斯变换

1.6 采样定理与量化

1.7 随机信号分析

1.8 维纳滤波与卡尔曼滤波

2. 数字滤波器

2.1 FIR 滤波器设计

窗函数法

Parks-McClellan (Remez)

其他方法

2.2 IIR 滤波器设计

双线性变换

脉冲响应不变法

2.3 滤波器结构

2.4 多采样率处理

抽取 (Decimation)

插值 (Interpolation)

多相分解

滤波器组

2.5 自适应滤波

LMS (Least Mean Squares)

NLMS (Normalized LMS)

RLS (Recursive Least Squares)

AP (Affine Projection)

3. 估计与检测

3.1 参数估计

最大似然估计 (MLE)

最大后验估计 (MAP)

矩估计

Cramér-Rao 下界 (CRLB)

3.2 谱估计

非参数法

参数法

子空间法

3.3 信号检测理论

假设检验

Neyman-Pearson (NP) 准则

匹配滤波器

ROC 曲线

3.4 时间序列分析

AR 模型 (自回归)

MA 模型 (滑动平均)

ARMA 模型

4. 多载波与扩频

4.1 OFDM

循环前缀 (CP)

OFDM 系统设计

OFDM 同步

信道估计

4.2 扩频通信

DS-SS (直接序列扩频)

FH-SS (跳频扩频)

CDMA

4.3 DFT-s-OFDM / SC-FDMA

5. 空时信号处理

5.1 阵列信号处理

均匀线

5. 空时信号处理

5.1 阵列信号处理

均匀线阵 (ULA)

波束成形 (Beamforming)

MUSIC 算法

ESPRIT 算法

5.2 MIMO 信号处理

5.3 空时编码

STBC (Alamouti)