班级错因分析

数学教师的班级错因分析（初中与高中；高中覆盖必修与选择性必修）：把作业与试卷的错题变成"下节数学课讲什么"。当老师说"这道数学题错得很多""班级共性错因""哪个数学知识点没掌握""下次数学课讲什么""数学知识点热力图""这个学生数学总错同一类"时，建议激活此SKILL。核心工作流：错题收集 → 阈值触发（错误率>30%的题）+ 抽样 → 错因分类（教师端七类，写入时映射通用四维）→ 知识图谱定位 → 班级/个体画像 → 教学干预建议。不处理：出试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、教案与概念建构（转 xiaozhi-teach-math-lesson-planner）、作业布置与批改台账（转 xiaozhi-teach-homework-tracker）。

班级错因分析 SKILL

一句话定位： 错题不是学员的"耻辱"，是教学的"指南针"——错因分析是从"题目表面"到"教学深层"的桥梁。

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技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, X, F]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。 无跨会话统计（X）时：不输出"这个学生这学期错了 N 次"，只统计老师本次提供的数据，并注明样本范围。 本 SKILL 输出错因分析框架与教学干预建议，不代替老师阅卷、不给学员打分排名、不替老师做教学决策。 错因分析一律基于化名/编号，不公开学员真实姓名 + 错题。 干预方案里的针对性练习题若由 AI 现出，生成前按 shared/ai-item-check.md 自检， 并标注 【AI 生成，入库前请人工验算】；未经老师验算不得进入作业或试卷。

教学主体边界：本 SKILL 只给老师出草稿、做分析，不替老师上课，不代老师回答学生的问题，也不代老师评价学生；面向学生或家长的内容，一律由老师审定后再用（教育部《中小学生成式人工智能使用指南（2025 年版）》）。

⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记"已转介"的处置事实。

隐私与数据控制入口

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- 查看：「查看我的班级错因档案」
- 更正：「更正我的档案」
- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）
- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）
- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」
- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）

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〇、错因录入的工作量控制：阈值触发 + 抽样

逐题、逐生做七类错因标注在真实课堂上做不完（一个班 45 人 × 25 题 = 1125 次判定）。 本 SKILL 默认按下面的规则决定"哪些题值得做七类分析"：

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第 1 步（全量，机器可算）：
  由 classWorkspace.itemScores[] 算出每题的错误率与 itemStats[].pValue
  → 全部题目只记通用四维（概念模糊/计算失误/读题失误/方法用错），四选一，快

第 2 步（阈值触发）：
  **错误率 > 30% 的题**才进入七类精细分析
  → 这些是真正影响下节课的题；一份卷子通常 3-6 道

第 3 步（抽样）：
  对触发的每道题，抽 5-8 份学生答卷做七类判定（覆盖高中低三档）
  → 抽样比例与实际份数写进报告，不用抽样结果冒充全班计数

第 4 步（个体）：
  只对老师点名关注的学生（一般 3-5 人）做个体错因画像
  → 其余学生只保留通用四维标签

⚠️ 报告里凡是来自抽样的比例，必须写"抽样 N 份"；
   凡是来自全量的，写"全班 N 人"。两者不混用。
   样本 < 10 份时，只给方向不给百分比（置信度 🔴 样本不足，不写入长期档案）。

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一、核心使命

数学错因分析常见的三个误区：

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误区① 错因=粗心：把所有错都归为"粗心"，
        错过就过，下次还错。

误区② 错题=个别：把错题归为"学员不认真"，
        没看到教学层面的问题。

误区③ 错题=补差：错题分析完就讲一遍，
        没有系统化、没有持续追踪。

本 SKILL 要解决的是：

• 让错因"具体化"：从"粗心"到七类具体错因，并映射到通用四维
• 让错题"关联化"：单个错题连到知识图谱
• 让分析"系统化"：班级共性 + 学员个体
• 让干预"精准化"：根据错因给具体建议

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二、触发时机

触发前提：手上有具体的错题或作业/测评的作答数据。老师泛泛说"最近错得多""下次课讲什么"而没有题、没有数据时，先问"哪次作业/测评？能把错题或逐题得分发我吗"，不进入分析。

触发场景	示例语句
错题分析	"这道题错得很多"
学员错在哪	"学员错在哪里"
班级共性	"班级共性错因"
知识点掌握	"哪个知识点没掌握"
下次课讲什么	"下次课讲什么"
错因分类	"学员错的原因"
知识图谱	"学员的知识漏洞"
错题追踪	"学员下次还错"

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三、核心流程

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                ┌──────────────────────────┐
                │ ① 错题收集                │
                │  作业/试卷/课堂          │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ② 错因分类                │
                │  7 类错因                  │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ③ 知识图谱关联            │
                │  错题→知识点              │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ④ 班级共性画像            │
                │  + 学员个体画像           │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ⑤ 教学干预建议            │
                │  班级+个体                 │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ⑥ 写回 student-analyzer   │
                │  错因 DNA                 │
                └──────────────────────────┘

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四、错因分类（7 类）

4.1 错因总览

词表以 shared/vocab.md §3 为唯一来源。

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┌────────────────┬────────────────────────┬────────────┬──────────────────────┐
│ 错因（教师端七类）│ 描述                    │ 关键特征    │ 教学策略              │
├────────────────┼────────────────────────┼────────────┼──────────────────────┤
│ 知识漏洞        │ 缺前置知识              │ 前面单元内容│ 补前置                │
│ 规则错误        │ 公式/法则记错           │ 错得"有理"  │ 最小步骤拆解 + 正反例  │
│ 审题错误        │ 漏看条件/看错问题/抄错题 │ 答非所问    │ 训练审题（圈关键词）   │
│ 策略错误        │ 方法选择不当            │ 解题思路错  │ 教策略选择 + 题组训练  │
│ 表达/书写不规范  │ 会做但过程分丢了        │ 答案对、扣分│ 过程分示范 + 评分说明  │
│ 计算错误        │ 列式对、算错            │ 过程对结果错│ 计算专项 + 估算验证    │
│ 习惯性失误      │ 漏写单位/跳步/不检验     │ 固定动作缺失│ **习惯与检查流程训练**  │
└────────────────┴────────────────────────┴────────────┴──────────────────────┘

⚠️ "习惯性失误"（原"粗心大意"）的干预是**习惯与检查流程训练**，不是"心理干预"。
   老师端不做心理诊断；学生出现情绪困扰时，按上面的危机例外或转学校心理老师。
⚠️ 不使用"粗心"作为原因——粗心是结果。记录时必须写清具体动作：漏写单位 / 跳步 / 未检验。

4.1.1 互斥判定规则（一道题只归一类）

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按顺序问，问到第一个"是"就定类，不再往下：
  ① 缺本单元以前学过的知识？ → 知识漏洞
  ② 法则/公式记错、用错？    → 规则错误（**不归计算错误**；本单元的概念、定理条件用错也归这一类）
  ③ 条件看错、抄错题？       → 审题错误（**不归习惯性失误**）
  ④ 方法选错？              → 策略错误
  ⑤ 方法对、过程写不全被扣分？→ 表达/书写不规范
  ⑥ 列式对、只是算错？       → 计算错误
  ⑦ 漏单位/跳步/不检验？     → 习惯性失误

高频争议：
  "移项不变号"     → 规则错误，不是计算错误
  "看错数字"       → 审题错误，不是习惯性失误
  "不等式乘负数没变号" → 规则错误

4.1.2 与通用四维的映射（写回学生端时必用）

教师端七类用于精细化教学诊断；写回学生端或经 handover-protocol 交接时， basicDimension 只接受通用四维（概念模糊/计算失误/读题失误/方法用错）， 写入 classWorkspace.homeworkAssignments[].completionSummary.commonErrors[].dimension 同理。 未映射会被 schema 的 enum 校验拒绝。

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教师端七类                        →  通用四维（basicDimension）
──────────────────────────────────────────────────────
知识漏洞 / 规则错误               →  概念模糊
计算错误 / 习惯性失误             →  计算失误
审题错误                          →  读题失误
策略错误 / 表达·书写不规范         →  方法用错

classWorkspace.errorTally 同时保留 teacherCategory（七类原值）与 dimension（映射后的四维）， 前者供教师本地报告使用，后者是跨端交接的公共码。

4.2 错因识别

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■ 本单元的概念没理解（按 4.1.1 第②问归规则错误；"概念模糊"是通用四维的名称，不是老师端七类之一）
  · 学员错得"很没把握"
  · 同一概念反复错
  · 学员自己说"我没懂"

■ 规则错误
  · 学员说"我记了公式但用错"
  · 错得"有理有据"（学员觉得自己对）
  · 法则、公式或定理的条件记错、用错

■ 审题错误
  · 答非所问
  · 漏看条件
  · 看错问题（求面积看成周长）

■ 策略错误
  · 解题方向错
  · 学员不知道"用哪个方法"
  · 复杂题不会拆

■ 表达/书写不规范
  · 答案对但过程分被扣
  · 证明题只写结论不写依据
  · 跳步，改卷老师接不上

■ 计算错误
  · 列式对，结果错
  · 学员自己一看就能"指出来错了"
  · 化简、通分、开方一类的运算出错

■ 习惯性失误
  · 誊抄自己的中间结果时写错
  · 漏写单位、漏写答句
  · 做完不检验（方程不代回、几何不复核图）
  · 注意：**抄错题目、看错数字归审题错误**，不归这一类

■ 知识漏洞
  · 缺前置知识
  · 学员听不懂讲解
  · 不是本单元的内容，是前面单元（或前一学段）的内容

4.3 错因溯源

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■ 第一层：表面错因
  · 学员做错了

■ 第二层：错因分类
  · 7 类之一

■ 第三层：根因
  · 概念模糊 → 是哪个概念？
  · 规则错误 → 是哪个规则？
  · 知识漏洞 → 是哪个前置？

■ 第四层：教学原因
  · 教法问题？
  · 学员基础问题？
  · 复习问题？

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五、知识图谱关联

5.1 知识点体系

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小学：
  数与代数：整数/分数/小数/百分数/比/比例
  图形与几何：平面图形/立体图形/周长/面积/体积
  统计与概率：统计表/统计图/概率

初中：
  数与式：有理数/整式/分式/二次根式
  方程与不等式：方程/不等式/方程组
  函数：一次函数/反比例函数/二次函数
  图形：三角形/四边形/圆/相似/全等
  统计：数据/概率/统计

高中·高一衔接段（必修主题一、二，见第十三节）：
  预备知识：集合/常用逻辑用语/等式与不等式/从函数观点看一元二次方程与不等式
  函数：函数概念与性质/幂函数、指数函数、对数函数/三角函数/函数应用

高中·必修后半（必修主题三、四，见第十四节，⚠高中）：
  几何与代数：平面向量及其应用/复数/立体几何初步（⚠高中）
  概率与统计：概率/统计（⚠高中）

高中·选择性必修（见第十四节，⚠高中）：
  函数：数列/一元函数导数及其应用（⚠高中）
  几何与代数：空间向量与立体几何/平面解析几何（⚠高中）
  概率与统计：计数原理/概率/统计（⚠高中）

定位错题：初中班在"初中"一栏取知识点，高中班按已学的模块在对应的高中栏取； 落在小学栏说明是前置知识漏洞；选修课程（A～E 类）的错题只做七类归类与四维映射， 不做知识图谱定位。

5.2 错题-知识点关联样板

📎 完整模板见 references/error-knowledge-link-template.md（错题-知识点关联填写样板：错题/关联知识点/错因定位三段）

5.3 知识点热力图

数据来源：classWorkspace.itemScores[] 逐题得分（只有总分时不能生成本图）。 "掌握度"= 该知识点相关题目的班级平均得分率。

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┌──────────────────────────────┐
│ 班级知识点热力图（初二·样例）  │
├──────────────────────────────┤
│ 知识点        │ 得分率        │
├──────────────────────────────┤
│ 整式运算      │ 🟢 88%        │
│ 因式分解      │ 🟡 62%        │
│ 分式化简      │ 🔴 35%        │
│ 一次函数图像  │ 🟡 66%        │
│ 全等三角形判定│ 🔴 40%        │
│ 勾股定理应用  │ 🟡 70%        │
│ 数据的集中趋势│ 🟢 80%        │
└──────────────────────────────┘
  🟢 > 70%   🟡 40-70%   🔴 < 40%

⚠️ 上表的百分数是**本班本次测评算出来的**，不是通用参考值。
   样本 < 20 人时，在图下注明"样本 N 人，仅供本次参考"。
   掌握度档位与学生端三档（会复述/会解释/真正掌握）不是一回事，
   跨端交换时按 shared/vocab.md §6 转换。

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六、班级共性画像

6.1 班级共性错因报告

📎 完整模板见 references/class-error-report-template.md（班级错因分析报告：总体/错因分布/TOP 3 错因/知识图谱弱项/教学建议）

6.2 班级画像维度

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┌──────────┬────────────────────────┐
│ 维度      │ 描述                    │
├──────────┼────────────────────────┤
│ 整体水平  │ 班级平均分/中位数       │
│ 错因分布  │ 7 类错因的比例          │
│ 知识图谱  │ 班级知识点掌握热力图   │
│ 进度      │ 班级整体进度            │
│ 互动      │ 班级参与度/活跃度       │
└──────────┴────────────────────────┘

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七、学员个体画像

7.1 学员错因档案

📎 完整模板见 references/student-error-profile-template.md（学员个体错因档案：错因分布/主导错因/知识图谱/错题进化趋势）

7.2 学员错因追踪

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口径按 `shared/vocab.md §5` 的**老师端**规则：由 `xiaozhi-teach-homework-tracker` 计数，
本 SKILL 不自行累加；粒度为"同一知识点 + 同一通用四维"，
`classWorkspace.weaknessRank[].stubbornCount` 记的是**近 4 次测评中错误率 >30% 的次数**。

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■ 同一知识点+同一维度累计 3 次 → 顽固弱项
  · 启动专项干预
  · 设计针对性训练

■ 累计 5 次 → 高危
  · 与学生本人先沟通策略
  · 是否告知家长依授权位（shared/vocab.md §8）：
    先查 parentSharingConsent；涉及情绪内容再查 emotionSharingWithParent
  · 不默认推送家长

■ 两次独立验证做对（间隔 ≥3 天，含 1 次换题型）→ 已攻克
  · 状态用五档：待处理/初步弱项/顽固弱项/突破中/已攻克
  · 不用"错因消失/已解决"这类说法

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八、教学干预建议

8.1 班级层面

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┌──────────┬────────────────────────┐
│ 错因      │ 干预建议                │
├──────────┼────────────────────────┤
│ 知识漏洞  │ 补前置+回顾旧知         │
│ 规则错误  │ 最小步骤拆解+正反例对比 │
│ 审题错误  │ 训练审题+关键词勾画     │
│ 策略错误  │ 教策略选择+题组训练     │
│ 表达不规范│ 过程分示范+评分标准公开 │
│ 计算错误  │ 计算专项+估算验证       │
│ 习惯性失误│ 习惯与检查流程训练      │
└──────────┴────────────────────────┘

> 习惯性失误的干预是**把检查动作写进解题流程**（设→列→解→检验→答），
> 不是"心理干预"，也不是加压。老师端不做心理诊断。

8.2 学员个体

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┌──────────┬────────────────────────┐
│ 错因      │ 个体干预                │
├──────────┼────────────────────────┤
│ 知识漏洞  · 补前置                 │
│ 规则错误  · 规则默写+当场复述依据   │
│ 审题错误  · 训练画关键词           │
│ 策略错误  · 教方法框架             │
│ 表达不规范· 按评分点逐条对照改写    │
│ 计算错误  · 限时计算+回代验算       │
│ 习惯性失误· 五步答题模板 + 检验清单 │
└──────────┴────────────────────────┘

8.3 干预样板

📎 完整模板见 references/intervention-report-template.md（教学干预建议样板：诊断/班级干预/个体干预/时间安排/评估）

---

九、与上游/下游 SKILL 的协作

9.1 协作流图

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              ┌────────────────────────┐
              │ xiaozhi-teach-         │
              │  homework-tracker      │
              │ （作业错题入库）        │
              └───────────┬────────────┘
                          │
                          ↓
              ┌────────────────────────┐
              │ xiaozhi-teach-         │
              │  math-error-analyzer   │
              │  （本 SKILL）           │
              └───────────┬────────────┘
                          │
        ┌─────────────────┼─────────────────┐
        ↓                 ↓                 ↓
  student-analyzer  lesson-planner   resource-library
  （错因 DNA）     （教学干预计划）  （错题案例库）

9.2 接口（唯一契约：shared/class-teaching-workspace.schema.json）

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读：
  classWorkspace.homeworkAssignments[] 的 completionSummary › commonErrors[]
      （knowledgePoint / dimension / teacherCategory / count）→ 作业错题
  classWorkspace.itemScores[]（examId / studentAlias / itemNo / score / maxScore）
      → 试卷逐题得分，热力图与错误率的唯一来源
  classWorkspace.itemStats[]（pValue / dValue / groupingMethod / flag）
      → 每题难度与区分度，用于判断"是学生不会还是题目有问题"
  classWorkspace.examBlueprints[].items[]（knowledgePoint / cognitiveLevel / difficultyBand）
      → 题目考查什么，用于把错题挂到知识点
  classWorkspace.classProfile（gradeBand / classSize / fullScore）→ 学段与换算基准

写（生成待确认条目，老师确认后落库）：
  classWorkspace.weaknessRank[]
    .weaknessId / .knowledgePoint / .errorRate
    .dimension（通用四维）/ .evidenceExamIds[] / .lastUpdated
    （不写 .stubbornCount——顽固计数由 xiaozhi-teach-student-analyzer 唯一累加；
      两处都累加会把“近 4 次错 3 次”判错）
  classWorkspace.homeworkAssignments[] 的 completionSummary › commonErrors[]
    knowledgePoint / dimension（四维）/ teacherCategory（七类）/ count
  （不写 classWorkspace.studentTiers[]——A/B/C 分层由
    xiaozhi-teach-student-analyzer 唯一维护，本 SKILL 只读不写；
    需要更新分层时把错因分布交接给它，不自行判定“谁在哪一层”）
  classWorkspace.interactionLogs[].misconceptionsObserved[] → 课上观察到的典型错误
  → 供 xiaozhi-teach-math-lesson-planner 读 weaknessRank 设计下节课
  → 供 xiaozhi-teach-math-exam-designer 读 weaknessRank 组卷

写回学生端档案：只走 handoverType: "teacher_writeback"，payload 为 teacherWritebackData （teacherSkill / studentAlias / weakKnowledgePointUpdates[] / note）。 发送前必须核对 meta.consentStatus.teacherWritebackConsent = true；为 false 时丢弃并告知老师 "该学生未授权写回，本次分析只留在班级工作空间"。 weakKnowledgePointUpdates[].status 用五档，masteryLevel 用学生端三档（shared/vocab.md §6）。 note 只写低敏事实描述，禁止心理标签、家庭信息、真实姓名。

给家长的内容：本 SKILL 不直接生成；交 xiaozhi-teach-parent-communication， 由它核对 parentSharingConsent（含情绪内容再核对 emotionSharingWithParent）后输出。不默认推送家长简报。

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十、字段级高敏信息防护

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✅ 错因档案用化名（studentAlias）
✅ 班级画像用编号
❌ 禁止：公开"某学员的错题"
❌ 禁止：未授权公开"班级排名"
✅ 错因可入库（脱敏后）
✅ 写回学生档案前核对 teacherWritebackConsent

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十一、行为准则

✅ 应该做	❌ 不能做
错因分七类并映射四维	把错因笼统记成"粗心"
关联知识图谱	错题=个别问题
班级+个体双画像	只看个别
持续追踪	一次分析就完事
教学干预建议	错题=补差
学员化名	公开学员错题

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十二、与其他 SKILL 的协同清单

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班级错因分析
    <── xiaozhi-teach-homework-tracker（作业错题）
    <── xiaozhi-teach-student-analyzer（学员错因）
    <── xiaozhi-teach-lesson-planner（教学计划）
    ──→ xiaozhi-teach-student-analyzer（错因 DNA）
    ──→ xiaozhi-teach-lesson-planner（教学干预计划）
    ──→ xiaozhi-teach-resource-library（错题案例库）
    ──→ 学生端 xiaozhi-math-error-dna（学员视角）

禁止行为：

• 禁止 AI 替学员分析错因（学员自评+老师诊断）
• 禁止 AI 给学员排名
• 禁止 AI 替老师下教学决策（只提供建议）
• 禁止公开学员真实姓名+错题
• 禁止把错因简单归为"粗心"（粗心是结果不是原因，须写清具体动作）
• 禁止对"习惯性失误"开心理干预处方（老师端不做心理诊断）

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十三、高中：高一衔接段的班级错因

依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一"预备知识"与主题二"函数"。阈值触发与抽样（错误率 > 30% 的题）、七类互斥判定（4.1.1）、与通用四维的映射（4.1.2）都与初中相同；定位知识点时用第五节"高中·高一衔接段"一栏。

高一常见的共性错误	按 4.1.1 归到	讲评与干预建议
题目给了定义域或取值范围，没读到	审题错误	讲评时先让学生圈出范围条件，再动笔
求定义域只看根号、漏了分母（不知道分式有意义的条件，是初中的内容）	知识漏洞	补分式、根式有意义的条件，配一组定义域题组
认为解析式相同就是同一个函数	规则错误	回到构成函数的要素（定义域、对应关系），配一组定义域题组
属于与包含混用；充分条件与必要条件说反	规则错误	用学过的初中命题做正反例对照
指数幂、对数的运算性质记错；诱导公式的符号错；一元二次不等式的解集写反（只考这条规则的纯净版小题也做错；纯净版做对、只在综合题里错的归计算错误）	规则错误	最小步骤拆解 + 正反例；诱导公式借助单位圆的对称性推导（课标案例 6），解不等式先画函数图像（课标案例 1）
用基本不等式求最值不检查等号能否取到；应用题的函数类型选错	策略错误	题组对比：等号能取到与取不到各一题；按变化规律选函数类型
用定义证明单调性，步骤写不全被扣分	表达/书写不规范	示范"取值—作差—变形—定号—结论"的完整书写
弧度与角度混用	规则错误（本单元的弧度制没理解；到后面的主题里才暴露的，归知识漏洞）	回到弧度的定义：用半径量弧（课标案例 3）

讲评材料与干预建议只用化名或座号，写回学生端仍按 4.1.2 映射成通用四维。必修后半与选择性必修的班级错因见第十四节。

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十四、高中：必修后半与选择性必修的班级错因

依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三"几何与代数"、主题四"概率与统计"，以及选择性必修的"函数""几何与代数""概率与统计"三个主题。阈值触发与抽样、七类互斥判定（4.1.1）、与通用四维的映射（4.1.2）都与初中相同；定位知识点时用第五节的"高中·必修后半""高中·选择性必修"两栏。知识漏洞只用于缺本单元以前学过的知识（4.1.1 第①问）；本单元的概念、定理条件用错，按第②问归规则错误。同一类错误有两种可能时，先像学生端那样问一句再定类，下表把两种情况分开写。学业水平考试考必修，高考考必修与选择性必修；只备学业水平考试的班级，讲评时不引入选择性必修的方法（如用空间向量证明位置关系）。

常见的共性错误	按 4.1.1 归到	讲评与干预建议
把数量积当成向量、随手约去；夹角为钝角时没排除反向共线	规则错误	用反例对照（两个非零向量垂直，数量积也是 0）；借助课标案例 9 向量投影建立几何直观
已知两边和其中一边的对角，只取了一个解	知识漏洞（不知道 sin B = √3/2 在 (0, π) 内对应两个角，是前一个主题三角函数的内容）或规则错误（知道、却没用"大边对大角"检验）	以 C 为圆心画弧，演示交点个数；"两解、一解、无解"各配一题
已知两边及其夹角（或三边）时想不到余弦定理，绕路或卡住；边角互化的方向不对	策略错误	按已知条件选定理的对应表 + 题组对比
立体几何说理漏写"在平面外""两条相交直线"	规则错误（问起来也说不出条件）或表达/书写不规范（知道条件，只是漏写）	示范判定定理的完整书写；必修阶段判定定理只要求直观感知、操作确认，扣分标准先向学生讲清
锥体体积漏乘 1/3、把高当母线（只考这条公式的纯净版小题也做错；纯净版做对、只在组合体里错的归计算错误）	规则错误	倒水实验或课件演示；圆锥侧面展开图
样本点列得不等可能；互斥与独立混用	规则错误	回到古典概型的两个特征和独立性的定义（课标案例 12 投掷骰子问题）
"有放回""不放回""至少""恰有"读错	审题错误	讲评先圈限定词，再列样本空间
频率分布直方图把高当成频率	规则错误	强调面积才是频率；配组距不同的对比题
由 Sₙ 求 aₙ 漏了 n = 1；等比数列求和漏了 q = 1	规则错误	把适用条件写进公式卡；"a₁ 满足通项"与"不满足"各配一题
求导法则用错（积、商、f(ax + b)）	规则错误	最小步骤拆解 + 正反例；纯净版做对、只在长式子里错的归计算错误
导数为 0 就当极值点；把极值当成最值	规则错误	用 y = x³ 的图像、区间端点的例子对照
含参单调性分类不全；恒成立不会转化为最值	策略错误	示范"定义域—求导—找分类标准—逐类讨论—总结"的流程；恒成立与能成立各配一题
建系前没有说明三条直线两两垂直	表达/书写不规范（其实垂直、没写理由）或策略错误（根本不垂直就建系）	示范建系的说理；与综合法对比（课标：灵活选择向量方法与综合几何方法）
线面角用成了余弦；二面角不判断锐钝	规则错误	画出方向向量、法向量与平面的关系图
设直线漏了斜率不存在；联立后不检验判别式	规则错误（问起来也说不出斜率不存在的直线写不成 y = kx + m）或策略错误（说得出、设直线时仍漏了，或联立后不检验判别式）	示范"设线—联立—判别式—根与系数的关系—代入"的完整流程
平均分组时没有除以组数的阶乘	规则错误（问"把这两组对调，算不算新的分法"也答错）	用小数据列举验证：4 本书平均分成两堆只有 3 种
相邻与不相邻不会捆绑、插空，分类分步混乱	策略错误	捆绑、插空各配一题，先安排特殊元素或特殊位置
条件概率与积事件的概率混淆；二项分布与超几何分布混用	规则错误	用"样本空间缩小"的图示；有放回与不放回对比
相关当因果；以为 r 接近 0 就没有关系；把回归预测值当成确定值	规则错误（问起来也这样认为）	用 y = x²（r = 0）等反例对照
独立性检验的结论写成"一定有关"，但问起来说得清推断可能犯错	表达/书写不规范	示范结论的规范表述（以学生所用教材为准）

学生端对应的错因子类型见数学错误DNA 维度表第十、十一节（老师端不直接写子类型，写回时只用通用四维）。讲评材料与干预建议只用化名或座号。选修课程（A～E 类）的错题只做七类归类与四维映射，不做知识图谱定位。

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十五、参考资源

• references/error-classification-rubric.md — 错因分类细则（7 类错因 + 评分模板）
• references/knowledge-map-template.md — 知识图谱模板（4 层结构 + 学员个人版）
• references/intervention-design.md — 教学干预设计模板（识别/诊断/干预/跟踪）
• references/error-knowledge-link-template.md — 错题-知识点关联填写样板
• references/class-error-report-template.md — 班级共性错因报告模板
• references/student-error-profile-template.md — 学员错因档案模板
• references/intervention-report-template.md — 教学干预建议样板

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💡 小智说： "错题不是学员的'耻辱'， 是教学的'指南针'。 学员错一次不可怕， 错三次还在同地方才是问题—— 那就要问问，到底是'学员不会'， 还是'我教不会'。"