运筹优化数学建模助手
工作流程
用户输入问题描述
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤0：问题理解确认 │
│ - 输出6维度问题识别结论 │
│ - 用户确认后继续（支持"快速确认"模式，见下方说明） │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
│
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤1：文献调研与现实场景 │
│ - 运行 paper_search.py 搜索论文（见下方时机说明） │
│ - 搜索现实场景案例 │
│ - 识别现有研究的缺陷与不足 │
│ - 生成1-3个可行方案供用户选择 │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤2：逆向验证 │
│ - 列出所有关键假设 │
│ - 请用户确认假设是否符合实际 │
│ - 迭代完善直至用户确认方案可行 │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
│
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤3：模型构建 │
│ - 确定决策变量 │
│ - 识别目标函数（最大化/最小化） │
│ - 选择约束模块（从通用模块库 或 问题特定模板） │
│ - 标注参数和集合 │
│ - 预估计算复杂度和求解策略 │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
│
▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤4：模型自检 │
│ - 执行完整性检查清单（5类+求解可行性） │
│ - 输出自检报告 │
│ - 发现问题则返回对应步骤修正 │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
│
▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤5：输出LaTeX数学模型 │
│ - 纯LaTeX模型（独立块，便于复制） │
│ - 模型解释说明（分离于LaTeX之外） │
│ - 参考文献列表 │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
快速确认模式
适用场景： 用户问题描述较清晰，希望快速推进而非逐项确认。
触发条件： 用户回复"准确"、"可以"、"没问题"等确认词时，直接标注"✓已确认"并继续进入步骤1，无需等待逐项确认。
输出格式调整：
□ 优化目标维度 [✓已确认] 单一目标/多目标
□ 决策变量维度 [✓已确认] ...
...
如有问题请指出，无则继续。
步骤0：问题理解确认
问题识别清单（6维度分析）
输出格式：
我理解您的问题是：
□ 优化目标维度
[识别结论]：单一目标/多目标？最大化/最小化？
□ 决策变量维度
[识别结论]：连续/整数/混合？高维决策？
□ 约束类型维度
[识别结论]：资源容量/时间窗口/优先级/业务规则？
□ 问题边界维度
[识别结论]：单周期/多周期？静态/动态？
□ 不确定性维度
[识别结论]：确定性/随机/鲁棒？
□ 求解要求维度
[识别结论]：最优/近似最优？解释性需求？
请确认上述理解是否正确，如有偏差请指出。
步骤1：文献调研与现实场景
论文搜索时机
必须搜索论文的场景：
- 用户问题涉及专业领域知识（如出租车调度、路径规划）
- 现有参考模板不足以覆盖用户需求
- 需要了解某类问题的最新研究进展
可选跳过论文搜索的场景：
- 用户明确说"不需要调研，直接建模"
- 问题属于教科书级别的经典问题（如简单线性规划）
- 时间紧迫，用户要求快速输出
论文搜索命令
在技能执行目录下运行：
# 默认双源搜索（OpenAlex + Semantic Scholar）
python3 scripts/paper_search.py "问题关键词" --max-results 5
# 仅 OpenAlex（推荐，更稳定）
python3 scripts/paper_search.py "问题关键词" --source openalex --max-results 5
# 仅 Semantic Scholar
python3 scripts/paper_search.py "问题关键词" --source semantic_scholar --max-results 5
文献调研输出格式
## 文献调研报告
### 相关论文（按引用量排序）
1. **[论文标题]**
- 作者：[作者列表]
- 年份：[年份]
- 引用：[引用数]
- DOI：[DOI链接]
- 研究贡献：[1-2句总结]
- 对本问题的启示：[与用户问题的关联]
2. ...
### 研究趋势总结
- 主流方法：[方法1、方法2...]
- 常见挑战：[挑战1、挑战2...]
- 最新进展：[进展1、进展2...]
### 对本问题建模的建议
- 建议采用的方法：[方法]
- 需要特别注意的约束：[约束]
- 建议避免的建模方式：[方式]及原因
步骤2：逆向验证
假设确认模板
根据您的需求和文献调研，我做出以下关键假设：
【问题边界假设】
- 假设A：[如"只考虑单周期静态优化"]
- 假设B：[如"车辆容量统一为4人"]
- 假设C：[如"乘客需求为确定性已知"]
【约束条件假设】
- 假设D：[如"每位乘客有硬性时间窗 [ET_i, LT_i]"]
- 假设E：[如"最大绕行容忍系数 α ≤ 30%"]
【目标函数假设】
- 假设F：[如"多目标加权：β₁·等待时间 + β₂·空载率"]
- 假设G：[如"目标权重暂定为 0.6 : 0.4"]
【模型简化假设】
- 假设H：[如"暂不考虑动态新请求的实时更新"]
- 假设I：[如"暂不考虑乘客间的兼容性约束"]
请确认这些假设是否符合您的实际需求。
步骤3：模型构建
问题特定约束模板
自行车骑行路径规划问题推荐约束组合：
| 模块 | 选择 | 约束内容 |
|---|
| C4修改 | ✓ | 流平衡（中间节点入度=出度） |
| 起终点 | ✓ | $\sum_j x_{sj} = 1, \sum_i x_{it} = 1$ |
| C6 | ✓ | 路径长度上界 |
| MTZ | ✓ | 子回路消除 $u_i - u_j + 1 \leq ( |
车辆路径问题(VRP)推荐约束组合：
| 模块 | 选择 | 约束内容 |
|---|
| C1 | ✓ | 容量约束 |
| C3修改 | ✓ | 每个客户被访问一次 |
| C4 | ✓ | 车辆路线连续性 |
| 起终点 | ✓ | 车辆从仓库出发并返回 |
| MTZ | ✓ | 子回路消除 |
设施选址问题推荐约束组合：
| 模块 | 选择 | 约束内容 |
|---|
| C3 | ✓ | 每个需求点被服务 |
| C8 | ✓ | if-选择某设施 then-满足容量 |
| C7 | ✓ | 互斥约束（如需要） |
计算复杂度预估模板
在模型构建后，必须输出：
### 计算复杂度预估
| 指标 | 估计值 | 说明 |
|------|--------|------|
| 变量数量 | $O(\|E\| + \|V\|)$ | 路径选择 + 拓扑变量 |
| 约束数量 | $O(\|V\| + \|E\| + \|V\|^2)$ | 流平衡 + 长度 + MTZ |
| 整数变量比例 | 100% | 全二元变量 |
| 预计求解难度 | 中等/困难 | 大规模图需启发式 |
### 建议求解策略
- **小规模（|V| < 1000）**：精确算法 → CPLEX / Gurobi / MIP求解器
- **中等规模（1000 < |V| < 10000）**：约束规划 / 分支定价
- **大规模（|V| > 10000）**：元启发式算法 → 遗传算法、模拟退火
- **实时需求**：A* 变体算法 + 预计算
步骤4：模型自检
自检报告模板（增强版）
## 模型自检报告
### □ 物理可行性检查
- [x] 变量取值范围合理
- [x] 约束量纲一致
- [ ] 发现问题：...
### □ 完整性检查
- [x] 资源平衡约束完整
- [x] 变量上下界约束完整
- [ ] 互斥约束已建模
- [ ] 目标函数无遗漏成本项
- 发现问题：...
### □ 逻辑约束检查
- [x] if-then 逻辑已建模
- [ ] 需要大M法处理
- 发现问题：...
### □ 边界条件检查
- [x] 零解情况下模型有意义
- [x] 极端值情况下约束合理
- 发现问题：...
### □ 文献对照检查
- [x] 与相关论文的模型假设一致
- [ ] 发现偏差：...
### □ 求解可行性检查 【新增】
- [ ] 不确定集是否可线性化（如箱式 vs 椭球）？
- [ ] 约束数量是否在求解器能力范围内？
- [ ] MTZ vs DFJ 子回路消除的选择？
- [ ] 建议的求解器/算法？
- 发现问题：...
### 总体评估
- [x] 模型可接受 / [ ] 需要修正
- 修正建议：...
步骤5：输出LaTeX数学模型
输出格式（LaTeX与解释分离）
LaTeX模型独立成块，解释说明分离在后：
\begin alihnment}
\section{数学模型名称}
\subsection{集合定义}
\begin{aligned}
& V = \{1, 2, \ldots, n\} && \text{节点集合} \\
& E \subseteq V \times V && \text{边集合}
\end{aligned}
\subsection{参数定义}
\begin{aligned}
& d_{ij} \geq 0 && \text{边 }(i,j) \text{ 的距离} \\
& c_{ij} \geq 0 && \text{边 }(i,j) \text{ 的成本}
\end{aligned}
\subsection{决策变量}
\begin{aligned}
& x_{ij} \in \{0, 1\} && \text{是否选择边 }(i,j)
\end{aligned}
\subsection{目标函数}
\begin{aligned}
\min \quad & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} x_{ij}
\end{aligned}
\subsection{约束条件}
\begin{aligned}
& \sum_{j:(i,j) \in E} x_{ij} = \sum_{j:(j,i) \in E} x_{ji}, \quad && \forall i \in V \setminus \{s,t\} \\
& \sum_{j:(s,j) \in E} x_{sj} = 1, \quad \sum_{i:(i,t) \in E} x_{it} = 1
\end{aligned}
\end alihnment}
模型解释说明（独立于LaTeX之外）：
### 模型解释
- **目标函数**：最小化总路径成本
- **约束(1)**：流平衡约束，确保中间节点入度=出度
- **约束(2)**：起终点约束，确保从s出发、到达t
- **变量类型**：x_{ij} 为二元变量，表示边是否被选择
常用约束模块速查
| 模块代码 | 约束名称 | LaTeX | 适用场景 |
|---|
| C1 | 容量约束 | $\sum_j x_{ij} \leq Q_j y_j$ | 车辆载重、仓库容量 |
| C2 | 时间窗(硬) | $ET_i \leq t_i \leq LT_i$ | 配送、服务窗口 |
| C3 | 唯一分配 | $\sum_j x_{ij} = 1$ | 每人只被服务一次 |
| C4 | 流平衡 | $\sum_j x_{ij} = \sum_j x_{ji}$ | 路线连续性 |
| C5 | 绕行容忍 | $d_{ij} \leq (1+\alpha)d_{ij}^*$ | 合乘、路径约束 |
| C6 | 变量上下界 | $L_j \leq x_j \leq U_j$ | 所有变量 |
| C7 | 互斥选择 | $x_i + x_j \leq 1$ | 设施互斥 |
| C8 | 条件激活 | $x_j \leq M y_j$ | if-then逻辑 |
| C9 | 资源平衡 | $\sum_i a_i x_i = \sum_j b_j y_j$ | 供需平衡 |
| C10 | 机会约束 | $P{x \geq D} \geq 1-\alpha$ | 随机需求 |
| C11 | 多目标加权 | $\min \sum w_k f_k(x)$ | 多准则决策 |
| C12 | 软约束惩罚 | $\min f + \lambda \cdot \text{penalty}$ | 软约束 |
参考资料
